[알고리즘] 다익스트라 최단경로 알고리즘

목적 :

다이크스트리아 알고리즘의 용도 사용법을 익히기 위해

📘 '이것이 취업을 위한 코딩테스트다' 책을 통해 공부하였습니다.

[최단 경로의 Case]

한 정점에서 다른 한 정점까지의 최단 경로
한 정점에서 다른 모든 정점까지의 최단 경로 🥇
모든 정점에서 다른 모든 정점까지의 최단 경로

이 글에서는 다익스트리아 알고리즘으로 해결되는

한 정점에서 다른 모든 정점으로 가는 최단 경로를 구해보겠습니다.

다익스트리아 알고리즘에서는

한 정점에서 다른 모든 정점으로 가는 최단 경로를 결정할 때

그리디한 방법으로 결정합니다.

(매 상황에서 가장 비용이 적은 노드를 선택하는 과정을 반복하기 때문입니다)

위 그래프를 보시면 시작점을 1로 잡았을 때 연결노드들의

가중치는 1,2,5 인걸 알 수있습니다.

이때 그리디한 방법으로 간선의 가중치가 가장 낮은 1->4 경로를 선택해나갑니다.

[다익스트리아 알고리즘의 2가지 방법]

1. 최단 거리가 가장 짧은노드를 선형탐색하는 방법 O(V^2)

⚠️1초에 대략 2500만번 정도 연산하는 파이썬에서는

노드의 개수가 5000개 이상이되면 선형탐색으로는 해결할 수 없습니다.

2. 우선순위 큐의 최소 힙을 사용하여 결정하는 방법 O(logN) 🥇

🔔노드의 개수가 5000개 이상일 때

우선순위 큐를 사용하여 시간복잡도를 줄일 수 있습니다

[다익스트리아 선형탐색 과정]

출발 노드 설정를 설정합니다.
최단 거리 테이블을 설정합니다(이 때 초기값은 1e9값으로 설정해줍니다.)
방문하지 않은 노드 중 최단 거리가 가장 짧은 노드를 선택합니다.
해당 노드를 거쳐 다른 노드로 가는 비용을 계산하여 최단 거리 테이블을 갱신합니다.
3번,4번 과정을 반복합니다.

[구현 코드]

import sys
input = sys.stdin.readline
INF  = 10**9 #무한을 의미하는 값으로 10억 설정

#노드의 개수, 간선의 개수를 입력받기\
n,m = map(int,input().split())
#시작 노드 번호를 입력 받기
start = int(input())
#각 노드에 연결되어 있는 노드에 대한 정보를 담는 리스트를 만들기
graph = [[] for i in range(n+1)]
#방문한 적이 있는지 체크하는 목적의 리스트를 만들기
visited = [False] * (n+1)
#최단거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance =[INF] * (n+1)

#모든 간선 정보를 입력받기:
for _ in range(m):
  a,b,c = map(int,input().split())
  #a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c라는 의미.
  graph[a].append((b,c))

#방문하지 않은 노드 중에서, 가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
def get_smallest_node():
  min_value = INF
  index = 0 #가장 최단 거리가 짧은 노드의 번호를 반환
  for i in range(1,n+1):
    if distance[i] < min_value and not visited[i]:
      min_value = distance[i]
      index = i
  return index

def dijkstra(start):
  #시작 노드에 대해서 초기화
  distance[start] = 0
  visited[start] = True
  for j in graph[start]:
    distance[j[0]] =j[1]
  #시작 노드를 제외한 전체 n-1개의 노드에 대해 반복
  for i in range(n-1):
    #현재 최단 거리가 가장 짧은 노드를 꺼내서, 방문처리
    now = get_smallest_node()
    visited[now] = True
    #현재 노드와 연결된 다른 노드를 확인
    for j in graph[now]:
      cost =distance[now] + j[1]
      #현재 노드를 거쳐서 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
      if cost < distance[j[0]]:
        distance[j[0]] = cost

#다익스트라 알고리즘 수행
dijkstra(start)

#모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1,n+1):
  #도달할 수 없는 경우, 무한(INF)라고 출력
  if distance[i] == INF:
    print("INF")
  #도달할 수 있는 경우 거리를 출력
  else:
    print(distance[i])

[최소 힙을 활용한 다익스트리아]

📌 단계마다 방문하지 않은 노드 중에서 최단 거리가 가장 짧은

노드를 우선적으로 선택하기 위해 최소 힙 자료구조를 사용합니다!

📌 선형탐색 과정과 기본원리는 동일하지만

최소 힙에서는 방문 리스트를 설정 하지 않아도

우선순위 큐에서 꺼낸 값을 단순히 최단 거리 테이블과 비교해서 현재 노드에 대한 거리 값보다

크면 자동으로 무시하도록 할 수있습니다. (해당 노드에 대해선 이미

처리가 끝났기 때문입니다)

[다익스트리아 최소 힙 구현 코드]

import heapq

# sys.stdin.readline() 이란 파이썬 내장 함수로 input()을 치환하면,
# 입력 데이터 수가 많아도 빠르게 동작 가능하다.
import sys
input = sys.stdin.readline
INF = 10**9 # 무한을 의미하는 값으로 10억을 설정

# 노드의 개수, 간선의 개수 입력받기
n, m = map(int, input().split())
# 시작 노드 번호를 입력받기
start = int(input())
# 각 노드에 연결된 노드에 대한 정보를 담는 리스트 생성
graph = [[] for i in range(n+1)]
# 최단 거리 테이블을 모두 무한으로 초기화
distance = [INF] * (n+1)

# 모든 간선 정보를 입력받기
for _ in range(m):
    a,b,c = map(int, input().split())
    # a번 노드에서 b번 노드로 가는 비용이 c
    graph[a].append((b, c))

def dijkstra(start):
    q = []
    # 시작 노드로 가기 위한 최단 경로는 0으로 설정하여, 큐에 삽입
    heapq.heappush(q, (0, start))
    distance[start] = 0
    while q: # 큐가 비어있지 않다면
        # 최단 거리가 가장 짧은 노드에 대한 정보 꺼내기
        dist, now = heqpq.heappop(q)
        # 현재 노드가 이미 처리된 적이 있는 노드라면 무시
        if distance[now] < dist:
            continue
        # 현재 노드와 연결된 다른 인접한 노드들을 확인
        for i in graph[now]:
            cost = dist + i[1]
            # 현재 노드를 거쳐서, 다른 노드로 이동하는 거리가 더 짧은 경우
            if cost < distance[i[0]]:
                distance[i[0]] = cost
                heapq.heappush(q, (cost, i[0]))

# 다익스트라 알고리즘을 수행
dijkstra(start)

# 모든 노드로 가기 위한 최단 거리를 출력
for i in range(1, n+1):
    # 도달할 수 없는 경우, 무한(INFINITY)이라고 출력
    if distance[i] == INF:
        print(“INFINITY”)
    # 도달할 수 있는 경우, 거리를 출력
    else:
        print(distance[i])

백준 문제 :

안녕하세요 오비입니다.

[알고리즘] 다익스트라 최단경로 알고리즘

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